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Variazione del volume di un pallone in funzione della quota

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traduzione di Aki IZ0MVN

Vedere anche: Lancio di un pallone-sonda - Le pellicole dei palloni-sonda - Idee per una esposizione: la caduta e la resistenza dell'aria - Il pallone che non scoppia -


Un pallone la cui pellicola è elastica, per esempio in latex, si dilata in relazione a quanto diminuisce la pressione esterna.

Esperienza

Ci sono due modi per far aumentare il diametro di un pallone: aggiungere del gas al suo interno in modo da aumentare la pressione del gas che esso contiene o diminuire la pressione esterna dell'aria che lo circonda. E' questo il procedimento che si applica quando il pallone, gonfiato con un gas più leggero dell'aria, sale nel cielo, là dove l'aria è rarefatta e dove la pressione atmosferica diminuisce.
Possiamo riprodurre questo fenomeno facilmente, senza bisogno di prendere quota. Per questo, basta una campana di vetro con la sua pompa a vuoto. Un manometro digitale permette di misurare la pressione sotto la campana, all'esterno del pallone.
Un piccolo palloncino, appena gonfio è sistemato sotto una campana di vetro molto spessa. Il barometro, visibile sulle foto, indica la pressione sotto la campana, in ettopascal (hPa).
Le tabelle dell'atmosfera standard permettono di valutare la quota corrispondente. L'aria nella campana viene aspirata dalla pompa collegata al piatto della campana per mezzo di un tubo che si scorge sotto il piatto.

809hPa = 1857m		521hPa = 5267m		340hPa = 8312m		244hPa = 10515m

140hPa = 13904m		108hPa = 15369m		77hPa = 17174m

Misurando su ogni foto il diametro del pallone si può seguire l'evolversi in funzione della pressione. Se prendiamo come diametro di riferimento quello del pallone alla pressione di 840hPa possiamo stabilire la relazione tra il diametro del pallone e la quota.

Misure e calcoli

La tabella qui sotto raggruppa le misure effettuate sulle foto e i risultati dei calcoli:
- Pressione, in ettopascal, indicata dal manometro;
- Quota corrispondente alla pressione in atmosfera standard;
- diametro DB in pixel del pallone misurato su ogni foto originale (questa misura è leggermente falsata dalla rifrazione dovuta allo spessore della parete della campana;
- diametro DC in pixel del piatto della campana rilevato alla stessa maniera di quello del pallone;
- rapporto DB/DC che permette di ritrovare le giuste proporzioni del pallone poiché la distanza tra il fotografo e il pallone non è costante, non avendo scattato le foto con lo scopo di misurare il diametro del pallone...
- rapporto DB/DC riportato al diametro del pallone a 1860m
- rapporto DB/DC riportato al diametro del pallone al livello del mare.

Pressione	Altitudine	diametro pallone DB	diametro campana DC	DB/DC	k1	k1.1
(hPa)	(m)	(pixels)	(pixels)
809	1860	180	490	0.37	1.00	1.10
521	5270	216	510	0.42	1.15	1.27
340	8310	258	526	0.49	1.34	1.47
244	10510	296	528	0.56	1.53	1.68
140	13900	360	524	0.69	1.87	2.06
108	15370	396	526	0.75	2.05	2.25
77	17170	456	538	0.85	2.31	2.54

Curva di dilatazione del pallone sotto la campana

La figura qui sotto mostra le variazioni del valore k1.1 cioè il diametro del palloncino sotto la campana in funzione dell'altitudine.
Possiamo dedurre facilmente il diametro del palloncino a qualunque altitudine.
Esempi:
- Un palloncino da 20cm di diametro al livello del mare, avrà un diametro di 1,5 x 20 = 30cm a 8300m
- Se, gonfiando un pallone dello stesso tipo, misuriamo che scoppia a 35cm di diametro, possiamo calcolare k = 35 / 20 = 1.75 e dedurne che esso scoppierà ad una quota di 11000m


Note
- Questo esempio particolare non ha altro interesse se non quello di illustrare i principi. La misura iniziale del diametro corrispondeva ad un pallone appena gonfio ed incapace di sollevarsi. Per trarre delle conclusioni valide sul ragionamento qui sopra illustrato bisognerebbe fare la misura sotto la campana con un pallone pronto per essere lanciato dall'inizio della misura, alla pressione atmosferica del sito di lancio.
- Il comportamento di una pellicola in latex varia enormemente in funzione di numerosi fattori: condizioni di immagazzinamento, invecchiamento... Tra l'altro la dispersione delle caratteristiche all'interno di un lotto di palloni nuovi dipende molto dalla qualità di fabbricazione.
- Uno stesso pallone non risponderà allo stesso modo se si tratta del suo primo gonfiaggio o se è stato già usato varie volte. Il latex ha delle proprietà elastiche che non sono affatto perfette.

Calcolo del diametro teorico di un pallone che sale a velocità costante

La formula (1), utilizzata nella pagina Variazioni della velocità di salita di un pallone-sonda permette di calcolare la forza R esercitata dall'aria sulla superficie S di un pallone che si sposta alla velocità v. Possiamo vedere, in questa stessa pagina, che pochissimo tempo dopo il lancio la velocità si stabilizza poiché la resistenza dell'aria R uguaglia esattamente il peso P dell'insieme della catena di volo. Abbiamo, allora, P = R.
Dalla formula (1), possiamo dedurre la formula (2) nella quale R è stato sostituito da P.

Esempio
Sia un pallone la cui catena di volo ha una massa di 500g (una DFM-06 e un piccolo pallone) dunque un peso di 5 Newton, una velocità di salita di 5m/s e il cui coefficiente aerodinamico è di 1. Incorporando questi valori nella formula (2) otteniamo la formula (3) che mostra che la superficie del pallone è inversamente proporzionale alla densità di volume dell'aria rho.
Dalla superficie S del profilo del pallone (superficie della sfera vista da sotto) possiamo dedurre il diametro della pellicola per un valore di rho.



Calcolo del diametro teorico in funzione della quota

Grazie alla tabella dell'atmosfera standard e al sito Desktop Aeronautics (v. pagina dei collegamenti) possiamo conoscere la densità di volume dell'aria per una data quota. Con l'aiuto della formula (3) possiamo quindi calcolare il diametro del pallone dell'esempio precedente in funzione della quota:

Altitudine	rho	S	Raggio	Diametro	k1.1
(m)	(kg/m3)	(m²)	(m)	(m)
1860	1.02	0.38	0.35	0.70	1.10
5270	0.72	0.55	0.42	0.84	1.32
8310	0.51	0.77	0.50	0.99	1.56
10510	0.39	1.01	0.57	1.14	1.79
13900	0.23	1.7	0.74	1.47	2.32
15370	0.18	2.15	0.83	1.65	2.60
17170	0.14	2.85	0.95	1.91	3.00

Anche qui non si tratta che di un esempio costruito attorno a valori iniziali arbitrari (abbiamo scelto un valore di 1 per il Cx del pallone per facilitare i calcoli, mentre il valore reale è inferiore a 0,5 ...) ma il principio resta valido.
Il diametro calcolato è stato normalizzato per un valore di 1 al livello del mare al fine di facilitare le comparazioni con la curva di dilatazione del palloncino nella campana a vuoto. Le due curve sono state sovrapposte sulla figura a lato:
- In blu, curva di dilatazione del palloncino sotto la campana a vuoto;
- In rosso, esempio di un pallone che trascina una radiosonda;
Si vede che le due curve hanno lo stesso andamento generale. La differenza si può spiegare, in parte, a causa della diversa elasticità della pellicola di un palloncino e una per pallone-sonda.

Note
Svariati fattori sono stati trascurati, per semplicità di esposizione, ai fini del calcolo del diametro del pallone in funzione della quota:
- il coefficiente aerodinamico del pallone è stato considerato come costante, cosa che non è vera, se non altro perché il pallone sotto-gonfiato alla partenza ha piuttosto una forma di pera inversa ed assomiglia più ad una sfera quando è dilatato;
- il pallone è stato assimilato a una sfera di cui si calcola il diametro mentre alla partenza il suo profilo è più aerodinamico.





Grazie a:
- David e ai suoi colleghi del Padiglione delle Scienze di Montbéliard (25)
- Pierre F8DLJ per le foto.